点积与余弦相似度
两个向量“像不像”，怎么用一个数衡量？答案是点积：把对应分量相乘再相加。它有个漂亮的几何含义——等于一个向量在另一个向量上的“投影”长度乘以另一个的长度。方向越一致，点积越大；垂直时为零；反向时为负。再除掉长度的影响，就得到只看夹角的余弦相似度。注意力分数、向量检索、推荐系统，背后都是它。拖动两个箭头试试。
拖动 蓝向量 a 和 金向量 b 的端点。淡蓝粗线是 a 在 b 上的投影。看右边的点积和余弦怎么随夹角变。
点积 a·b = —
余弦相似度 cos θ—
夹角 θ—
|a|（长度）—
|b|（长度）—
a·b = |a|·|b|·cos θ ＝ 投影长度 × |b|
同向 → 大正数
方向一致，点积最大（=两长度相乘），余弦接近 +1，最“相似”。
垂直 → 零
互相垂直时点积为 0，余弦为 0，互不相关。
反向 → 负数
方向相反，点积为负，余弦接近 −1，最“不相似”。